Теоретические материалы Диаметр, перпендикулярный к хорде

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Длины и площади


  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    Презентация по геометрии 8 класса на тему «Диаметры. ходы и дуги окружности»

    Онлайн-конференция идёт регистрация

    «Особенности работы и пути взаимодействия школьного педагога с детьми с умственной отсталостью в начале учебного года»

    свидетельство каждому участнику

    скидка на курсы для всех участников
    онлайн-конференции

    8 – 10 сентября 2020г 19:00 (МСК)

    VI Международный дистанционный конкурс «Старт»

    Идет приём заявок

    • 16 предметов
    • Для учеников 1-11 классов и дошкольников
    • Наградные и подарки

    Описание презентации по отдельным слайдам:

    Устная контрольная работа по геометрии №2 Хорды и дуги окружности

    Диаметр, перпендикулярный к хорде Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. Диаметр, проходящий через середину хорды Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

    Равные хорды Хорды, равноудалённые от центра окружности Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

    Две хорды разной длины Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

    Равные дуги Если дуги равны, то равны и стягиваемые ими хорды. Равные хорды Если хорды равны, то равны и стянутые ими дуги.

    Параллельные хорды Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

    Если две хорды пересекаются, то произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны. Пересекающиеся хорды АE* BE = CE* DE

    Касательные, проведённые к окружности из одной точки Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны. AB = AC

    Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

    Секущие, проведённые из одной точки вне круга Справедливо равенство

    Теорема о бабочке Теорема .Если через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно. Тогда отрезки GK и GL равны.

    VI Международный дистанционный конкурс «Старт»

    Идет приём заявок

    • 16 предметов
    • Для учеников 1-11 классов и дошкольников
    • Наградные и подарки
    • Все материалы
    • Статьи
    • Научные работы
    • Видеоуроки
    • Презентации
    • Конспекты
    • Тесты
    • Рабочие программы
    • Другие методич. материалы

    • Левина Наталья АлександровнаНаписать 1967 04.02.2017

    Номер материала: ДБ-164524

    • Геометрия
    • 8 класс
    • 7 класс
    • Презентации

    Добавляйте авторские материалы и получите призы от Инфоурок

    Еженедельный призовой фонд 100 000 Р

      04.02.2017 416
      04.02.2017 244
      04.02.2017 927
      04.02.2017 253
      04.02.2017 353
      04.02.2017 1522

    Не нашли то что искали?

    Вам будут интересны эти курсы:

    Оставьте свой комментарий

    Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

    Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

    Диаметр перпендикулярный хорде делит стягиваемые ею дуги пополам

    ГЕОМЕТРИЯ: Планиметрия

    7. Окружность

    Форма и положение окружности.

    Теорема. Через три точки, не лежащие на одной прямой можно провести окружность и притом только одну.

    Теорема. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам.

    1. Диаметр, проведённый через середину хорды, перпендикулярен этой хорде и делит дугу, стягиваемую ею, пополам.

    2. Диаметр, проведённый через середину дуги, перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу, и делит её пополам.

    Теорема. Дуги, заключённые между параллельными хордами равны.

    Зависимость между дугами и хордами.

    Теоремы. В одном круге ( или равных кругах) :

    1) если дуги равны, то стягивающие их хорды равны,

    2) если хорды равны, то стягиваемые ими дуги равны.

    Доказательство. 1) Пусть дуга АВ равна дуге CD . Проведя радиусы ОА, ОВ, ОС и OD, мы получим,два треугольника, у которых две стороны одного равны двум сторонам другого и углы между ними равны. Следовательно, эти треугольники равны и AB=CD.

    2) Если хорды АВ и CD равны, треугольники АОВ и COD равны, имея три соответственно равные стороны, а потому Р AOB= Р COD. Если же центральные углы равны, то и соответствующие им дуги равны.

    Теоремы. В одном круге ( или равных кругах) :

    1) если хорды равны, то они одинаково удалены от центра,

    2) если хорды одинаково удалены от центра, то они равны.

    Относительное положение прямой и окружности.

    Прямая и окружность могут находиться только в трёх относительных положениях.

    1. Расстояние от центра до прямой больше радиуса окружности.

    2. Расстояние от центра до прямой меньше радиуса окружности.

    3. Расстояние от центра до прямой равно радиусу окружности.

    В третьем случае прямая имеет с окружностью только одну общую точку, такая прямая называется касательной к окружности, общая точка называется тогда точкой касания

    1. Если прямая перпендикулярна радиусу в конце его, лежащем на окружности, то она касается окружности.

    2. Если прямая касается окружности, то радиус, проведённый в точку касания перпендикулярен прямой.

    Следствие. Две касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей точку с центром .

    Относительное положение двух окружностей.

    Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются, если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются. Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей.

    Теорема. Если две окружности имеют общую точку, расположенную вне линии центров, то они имеют ещё и другую общую точку, симметричную с первой относительно линии центров.

    1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров, то они касаются.

    2. Если две окружности касаются, то точка качания лежит на линии центров.

    Угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки окружности, называется вписанным углом.

    Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается.

    Следствия. 1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.

    2. Всякий угол, опирающийся на диаметр, есть прямой.

    Теоремы. 1. Угол, вершина которого лежит внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых заключена между его сторонами, а другая — между продолжениями сторон.

    2. Угол , вершина которого лежит вне круга и стороны которого пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью двух дуг, заключённых между его сторонами.

    Доказательство. Проведя хорду

    AD мы получим треугольник ,относительно которого рассматриваемый угол АВС служит внешним , когда его вершина лежит внутри круга, внутренним, когда его вершина лежит вне круга. Поэтому :

    в первом случае

    : Р ABC= Р ADC+ Р DAE,

    во втором случае

    : Р ABC= Р ADC- Р DAE.

    ADC и DAE , как вписанные измеряются половинами дуг AC и DE ,следовательно, теорема доказана.

    Вписанные и описанные многоугольники.

    Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то говорят, что этот многоугольник вписан в окружность или что окружность описана около него.

    Если все стороны многоугольника касаются окружности, то говорят, что многоугольник описан около окружности или что окружность вписана в треугольник.

    Теоремы. 1. Около всякого треугольника можно описать окружность и только одну.

    2. Во всякий треугольник можно вписать окружность и только одну.

    Свойство вписанного четырёхугольника: В выпуклом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым. Обратно, если в выпуклом четырёхугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым, то около него можно описать окружность.

    Следствия. 1. Из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность .

    2. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобочная.

    Свойство описанного четырёхугольника: В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны .

    Четыре замечательные точки в треугольнике.

    1. Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведённые через их середины, сходятся в одной точке, которая есть центр описанного круга.

    2. Биссектрисы углов треугольников сходятся в одной точке, которая есть центр вписанного круга.

    3. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке.

    4. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, эта точка отсекает от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.

    Читайте также:  Когда ребенок начинает спать всю ночь не просыпаясь на ночные кормления
    Ссылка на основную публикацию
    Температура при гайморите сколько держится и как сбить
    Хронический гайморит у взрослых Симптомы хронического гайморита у взрослых Хронический гайморит может регулярно обостряться и чаще всего из-за банальной простуды....
    Тамбовский кожно-венерологический диспансер — Крапивница и отёк Квинке у детей
    Чем опасен отек Квинке у ребенка Отек Квинке у ребенка (ангиотек, гигантская крапивница) – аллергическая реакция, начинается стремительно развивающимся острым...
    Тампоны Гемостатическая губка — «Эффективное средство для остановки сильных кровотечений
    Кровоостанавливающие препараты при геморрое Геморрой – заболевание неприятное, связанное с состоянием прямой кишки. Опасным явлением болезни считается кровотечение. Не сопровождается...
    Температура при грудном вскармливании у мамы что делать, как и чем сбить у кормящей матери, отзывы
    Как снять температуру кормящей маме с помощью народных средств Женщины, кормящие грудью, как и все другие люди подвержены различным заболеваниям....
    Adblock detector